专升本数学严选800题 - 强化部分

幂级数与空间解析几何

一、填空题(题号478-508)

478. 设幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-\frac{1}{2})^n$ 在 $x=2$ 处发散,在 $x=-1$ 处收敛,则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-1)^n$ 的收敛域是。
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     答案: $(-\frac{1}{2}, \frac{5}{2}]$

     解析: 对于幂级数 $\sum a_n(x-1/2)^n$,收敛中心为 $x_0=1/2$。

     在 $x=2$ 处发散: $|2-1/2|=3/2$,说明收敛半径 $R \leq 3/2$。

     在 $x=-1$ 处收敛: $|-1-1/2|=3/2$,说明收敛半径 $R \geq 3/2$。

     因此 $R=3/2$,收敛区间为 $(-1, 2)$。

     对于新级数 $\sum a_n(x-1)^n$,中心在 $x=1$,收敛区间为 $(1-3/2, 1+3/2) = (-1/2, 5/2)$。

     由阿贝尔定理,原级数在 $x=-1$ 收敛对应新级数在 $x=-1/2$ 收敛,在 $x=2$ 发散对应新级数在 $x=5/2$ 发散。

     故收敛域为 $(-1/2, 5/2]$。
479. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!}$ 的和函数为:。
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     答案: $e^{2x}$

     解析: 利用指数函数的泰勒展开式: $e^t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}$。

     令 $t = 2x$,则 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!} = e^{2x}$。
480. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{(2n)!}$ $(x>0)$ 的和函数为:。
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     答案: $\cos\sqrt{x}$

     解析: 回忆余弦函数的泰勒展开: $\cos t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n t^{2n}}{(2n)!}$。

     令 $t = \sqrt{x}$,则 $t^{2n} = x^n$。

     因此 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{(2n)!} = \cos\sqrt{x}$。
481. 将 $f(x)=5^x$ 展开为 $x$ 的幂级数:。
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     答案: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 5)^n}{n!}x^n$, $x \in (-\infty, +\infty)$

     解析: $5^x = e^{x\ln 5}$。

     利用 $e^t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}$,令 $t = x\ln 5$。

     得 $5^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x\ln 5)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 5)^n}{n!}x^n$。

     收敛域为 $(-\infty, +\infty)$。
482. 平行于向量 $a=(1,2,-1)$ 的单位向量为。
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     答案: $\pm\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,-1)$ 或 $\pm(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}})$

     解析: 向量 $a$ 的模长: $|a| = \sqrt{1^2+2^2+(-1)^2} = \sqrt{6}$。

     单位向量为 $\pm\frac{a}{|a|} = \pm\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,-1)$。
483. 设点 $M_1(1,\sqrt{3},2)$ 和 $M_2(3,0,3)$,则向量 $\overrightarrow{M_1M_2}$ 的模为。
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     答案: $\sqrt{8}$ 或 $2\sqrt{2}$

     解析: $\overrightarrow{M_1M_2} = (3-1, 0-\sqrt{3}, 3-2) = (2, -\sqrt{3}, 1)$。

     模长 $= \sqrt{2^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4+3+1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。
484. 设 $a=2i-3j+k$, $b=3i+j-2k$,则 $a\cdot b=$, $a\times b=$, $a\cdot(-2b)=$, $3a\times 2b=$, $a, b$ 夹角的余弦为。
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     答案: $1$; $(5,7,11)$; $-2$; $6(5,7,11)$; $\frac{1}{14}$

     解析: $a=(2,-3,1)$, $b=(3,1,-2)$。

     $a\cdot b = 2\times3 + (-3)\times1 + 1\times(-2) = 6-3-2 = 1$。

     $a\times b = (5, 7, 11)$。

     $a\cdot(-2b) = -2(a\cdot b) = -2$。

     $3a\times 2b = 6(a\times b) = 6(5,7,11) = (30,42,66)$。

     $|a| = \sqrt{4+9+1} = \sqrt{14}$, $|b| = \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14}$。

     $\cos\theta = \frac{a\cdot b}{|a||b|} = \frac{1}{14}$。
485. 设向量 $a=(2,1,-3)$,则该向量的方向余弦 $\cos\alpha=$, $\cos\beta=$, $\cos\gamma=$。
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     答案: $\frac{2}{\sqrt{14}}$, $\frac{1}{\sqrt{14}}$, $-\frac{3}{\sqrt{14}}$

     解析: $|a| = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}$。

     方向余弦: $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{14}}$, $\cos\beta = \frac{1}{\sqrt{14}}$, $\cos\gamma = \frac{-3}{\sqrt{14}}$。
486. 已知向量 $a=i+3j+2k$, $b=2i-j+k$, $c=i+2j$,则 $(a\times b)\cdot c=$。
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     答案: $11$

     解析: 混合积 $(a\times b)\cdot c = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$。

     $= 1\times(0-2) - 3\times(0-1) + 2\times(4+1) = -2 + 3 + 10 = 11$。
487. 设 $a=3i-2j+k$, $b=i-3j+\lambda k$,且 $a \perp b$,则 $\lambda=$。
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     答案: $-9$

     解析: $a\cdot b = 3\times1 + (-2)\times(-3) + 1\times\lambda = 3 + 6 + \lambda = 9+\lambda = 0$。

     解得 $\lambda = -9$。
488. 设 $a$, $b$ 的模长 $|a|=2$, $|b|=4$,且 $a \perp b$,则 $(3a-b)\cdot(2a+b)=$。
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     答案: $8$

     解析: 展开: $(3a-b)\cdot(2a+b) = 6a\cdot a + 3a\cdot b - 2b\cdot a - b\cdot b$。

     $= 6|a|^2 + a\cdot b - |b|^2$。

     由于 $a \perp b$,所以 $a\cdot b=0$。

     $= 6\times4 + 0 - 16 = 24 - 16 = 8$。
489. 已知 $\overrightarrow{OA}=i+3k$, $\overrightarrow{OB}=j+3k$,则 $\triangle OAB$ 的面积为。
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     答案: $\frac{\sqrt{19}}{2}$

     解析: $\overrightarrow{OA}=(1,0,3)$, $\overrightarrow{OB}=(0,1,3)$。

     $\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB} = (-3, -3, 1)$。

     面积 $= \frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}| = \frac{1}{2}\sqrt{9+9+1} = \frac{\sqrt{19}}{2}$。
490. 过点 $(2,3,0)$ 且与平面 $2x-3y+7z-12=0$ 平行的平面方程为。
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     答案: $2x-3y+7z+5=0$

     解析: 平行平面法向量相同,设为 $2x-3y+7z+D=0$。

     代入点 $(2,3,0)$: $4-9+0+D=0$,得 $D=5$。

     方程为 $2x-3y+7z+5=0$。
491. 过点 $A(1,3,-2)$ 且与连接坐标原点及点 $A$ 的线段 $OA$ 垂直的平面方程为。
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     答案: $x+3y-2z-14=0$

     解析: $\overrightarrow{OA}=(1,3,-2)$ 为法向量。

     平面方程: $1(x-1)+3(y-3)-2(z+2)=0$。

     即 $x+3y-2z-1-9-4=0$, $x+3y-2z-14=0$。
492. 过 $A(3,-1,2)$, $B(1,2,2)$, $C(1,-1,0)$ 三点的平面方程为。
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     答案: $3x+2y-3z-1=0$

     解析: $\overrightarrow{AB}=(-2,3,0)$, $\overrightarrow{AC}=(-2,0,-2)$。

     法向量 $n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-6,-4,6)$,简化为 $(3,2,-3)$。

     用点 $A$: $3(x-3)+2(y+1)-3(z-2)=0$。

     $3x-9+2y+2-3z+6=0$, $3x+2y-3z-1=0$。
493. 过点 $(1,0,-1)$ 且平行于向量 $a=(2,1,3)$ 和 $b=(1,-1,1)$ 的平面方程为。
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     答案: $4x+y-3z-7=0$

     解析: 法向量 $n=a\times b=(4,1,-3)$。

     平面方程: $4(x-1)+1(y-0)-3(z+1)=0$。

     $4x-4+y-3z-3=0$,即 $4x+y-3z-7=0$。
494. 三个平面 $x+2y+3z=0$, $2x+y-z=1$, $x+2y-2z=4$ 的交点为。
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     答案: 需解方程组确定

     解析: 解方程组。

     由(1)(3)相减: $5z=-4$, $z=-4/5$。

     代入(1): $x+2y=12/5$。

     代入(2): $2x+y=1/5$。

     解得交点坐标。
495. 点 $(-1,2,3)$ 到平面 $3x+2y+z-5=0$ 的距离为。
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     答案: $\frac{\sqrt{14}}{14}$ 或 $\frac{1}{\sqrt{14}}$

     解析: 距离公式 $d=\frac{|3\times(-1)+2\times2+1\times3-5|}{\sqrt{9+4+1}}=\frac{|-3+4+3-5|}{\sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{14}$。
496. 过点 $(-2,3,1)$ 且平行于直线 $\frac{x-2}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{5}$ 的直线方程为。
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     答案: $\frac{x+2}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{5}$

     解析: 方向向量相同为 $(3,2,5)$,过点 $(-2,3,1)$。

     方程为 $\frac{x-(-2)}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{5}$。
497. 求过两点 $M_1(1,3,-2)$ 和 $M_2(0,2,-3)$ 的直线方程为。
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     答案: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+2}{1}$ 或 $\frac{x}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+3}{1}$

     解析: 方向向量 $\overrightarrow{M_1M_2}=(-1,-1,-1)$,或取 $(1,1,1)$。

     用点 $M_1$: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+2}{1}$。
498. 直线 $\begin{cases} x-2y+3z=5 \\ 4x+2y-z=2 \end{cases}$ 的参数式为。
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     答案: 形式不唯一

     解析: 求方向向量:两平面法向量 $n_1=(1,-2,3)$, $n_2=(4,2,-1)$。

     $s=n_1\times n_2=(-4,13,10)$。

     求直线上一点:令 $z=0$,解得 $x=9/5$, $y=-8/5$。
499. 过点 $(1,-2,0)$ 且与直线 $\begin{cases} 2x-y+z-5=0 \\ x+2y-3z+2=0 \end{cases}$ 垂直的平面方程为。
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     答案: $x+7y+5z+13=0$

     解析: 直线的方向向量即为平面的法向量。

     $n=(1,7,5)$。

     平面: $1(x-1)+7(y+2)+5(z-0)=0$。

     $x-1+7y+14+5z=0$, $x+7y+5z+13=0$。
500. 直线 $L_1: \begin{cases} x-y=1 \\ 2y+z=5 \end{cases}$ 与直线 $L_2: \frac{x-2}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+4}{-1}$ 的夹角为。
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     答案: $\frac{\pi}{3}$ 或 $60^\circ$

     解析: $L_1$ 的方向向量: $s_1=(-1,-1,2)$。

     $L_2$ 的方向向量: $s_2=(-1,2,-1)$。

     $\cos\theta=\frac{|s_1\cdot s_2|}{|s_1||s_2|}=\frac{|1-2-2|}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。

     $\theta=\frac{\pi}{3}$。
501. 过点 $(0,3,2)$ 且与两平面 $x-2z=3$ 和 $y+z=1$ 平行的直线方程为。
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     答案: $\frac{x}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{1}$

     解析: 方向向量垂直于两平面的法向量。

     $n_1=(1,0,-2)$, $n_2=(0,1,1)$。

     $s=n_1\times n_2=(2,-1,1)$。

     方程: $\frac{x}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{1}$。
502. 直线 $\frac{x+2}{3}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z+7}{4}$ 和平面 $2x-y-2z=7$ 的位置关系是。(平行、垂直、重合)
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     答案: 平行

     解析: 直线方向向量 $s=(3,-2,4)$,平面法向量 $n=(2,-1,-2)$。

     $s\cdot n=6+2-8=0$,所以直线与平面平行或在平面内。

     检验点 $(-2,5,-7)$ 是否在平面上: $2(-2)-5-2(-7)=-4-5+14=5 \neq 7$。

     所以直线与平面平行。
503. 点 $A(2,0,-1)$ 在平面 $2x+y-z+3=0$ 上的投影为。
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     答案: $(-2/3, -4/3, 1/3)$

     解析: 过 $A$ 作垂直于平面的直线: $\frac{x-2}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}=t$。

     参数式: $x=2+2t$, $y=t$, $z=-1-t$。

     代入平面: $2(2+2t)+t-(-1-t)+3=0$。

     $4+4t+t+1+t+3=0$, $6t+8=0$, $t=-4/3$。

     投影点: $(2-8/3, -4/3, -1+4/3) = (-2/3, -4/3, 1/3)$。
504. $x^2+y^2=1$ 表示。(空间解析几何图形)
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     答案: 圆柱面

     解析: 在空间直角坐标系中,方程 $x^2+y^2=1$ 不含 $z$,表示以 $z$ 轴为中心轴,半径为1的圆柱面。
505. $x^2-y^2=1$ 表示。(空间解析几何图形)
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     答案: 双曲柱面

     解析: 方程 $x^2-y^2=1$ 不含 $z$,表示母线平行于 $z$ 轴的双曲柱面。
506. $x=1$ 表示。(空间解析几何图形)
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     答案: 平面(平行于 $yOz$ 平面的平面)

     解析: $x=1$ 表示过点 $(1,0,0)$ 且垂直于 $x$ 轴(平行于 $yOz$ 平面)的平面。
507. $y=2x+1$ 表示。(空间解析几何图形)
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     答案: 平面(平行于 $z$ 轴的平面)

     解析: 方程 $y=2x+1$ 不含 $z$,表示母线平行于 $z$ 轴的平面(柱面)。
508. $y^2=2x$ 表示。(空间解析几何图形)
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     答案: 抛物柱面

     解析: 方程 $y^2=2x$ 不含 $z$,表示母线平行于 $z$ 轴的抛物柱面。

二、单项选择题(题号509-511)

509. 已知函数 $f(x)=\begin{cases} \frac{1}{x}, & |x|>1 \\ 0, & |x|\leq 1 \end{cases}$,则 $f[f(800)]=$ ( )
     A. $800$ B. $\frac{1}{800}$ C. $1$ D. $0$
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     答案: D

     解析: $|800|>1$,所以 $f(800)=\frac{1}{800}$。

     $|\frac{1}{800}|=\frac{1}{800}<1$,所以 $f[f(800)]=f(\frac{1}{800}) =0$。
510. 函数 $y=e^{\frac{1}{x}}+\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}+\arcsin(x-1)$ 的定义域是 ( )
     A. $x\in[-2,0]\cup[0,2]$ B. $x\in[0,2]$ C. $x\in[-2,0)\cup(0,2]$ D. $x\in(0,2)$
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     答案: D

     解析: 分别考虑各项:

     1. $e^{\frac{1}{x}}$:要求 $x \neq 0$。

     2. $\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$:要求 $4-x^2>0$,即 $-2

     3. $\arcsin(x-1)$:要求 $-1\leq x-1 \leq 1$,即 $0\leq x \leq 2$。

     取交集: $x \in (0, 2)$。
511. 下列函数为偶函数的是 ( )
     A. $\sin(x^2\cot x)$ B. $f(x)+f(-x)$ C. $\frac{e^x-1}{e^x+1}$ D. $\ln(x+\sqrt{1+x^2})$
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     答案: B

     解析: 逐一验证:

     A. 设 $g(x)=\sin(x^2\cot x)$, $g(-x)=\sin(x^2\cot(-x))=\sin(-x^2\cot x)=-\sin(x^2\cot x)=-g(x)$,为奇函数。

     B. 设 $h(x)=f(x)+f(-x)$, $h(-x)=f(-x)+f(x)=h(x)$,为偶函数。

     C. $\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}=\frac{1-e^x}{1+e^x}=-\frac{e^x-1}{e^x+1}$,为奇函数。

     D. $\ln(-x+\sqrt{1+x^2})=\ln\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}=-\ln(x+\sqrt{1+x^2})$,为奇函数。